Achilles und die Schildkröte

Alberigo Tuccillo Philosophie

Ob ich die Mathematik liebte, weil ich meinen Mathematiklehrer mochte, oder ob ich ihn mochte, weil ich die Mathematik liebte, weiß ich nicht. Aber etwas Besonderes musste er mir bedeuten, denn schließlich liebte ich ja auch Musik, Zeichnen, Geschichte und Französisch, ohne dass ich die einschlägigen Lehrkräften in wirklich angenehmer Erinnerung bewahrt hätte. Den Mathematiklehrer mochte ich wahrscheinlich deshalb so gut, weil ich ihn immer auf Anhieb verstand, vor allem aber weil ich das Gefühl hatte, dass er mich verstand.

Eines Morgens kam er, noch während der Pause, etwa fünf Minuten zu früh ins Schulzimmer zurück, als ich gerade dabei war, seine Skizzen an der Wandtafel auszubessern, denn er war zwar ein guter Mathematiker, aber ein katastrophaler Zeichner. Obwohl ich in den Pausen schon oft seine rechten Winkel von 88 Grad verbessert und manche Thales-Kartoffel etwas kreisförmiger nachgezogen hatte, und obwohl der Lehrer von sich selbst oft scherzhaft gesagt hatte, an ihm sei ein Zeichner völlig unauffindbar verloren gegangen, zuckte ich zusammen, als er mir die Kreide aus der Hand nahm und mich rätselhaft herausfordernd anlächelte.

Ohne ein Wort zu sagen, schrieb er an die Tafel:

5x – 5x = 3x – 3x

Er sah mich an. Ich wusste nicht, worauf er hinauswollte, doch ich nickte. Dann sagte er: «Das kann man auch so schreiben:»

5 (x – x) = 3 (x – x)

Er sah mich wieder an. Ich wusste immer noch nicht, worauf er hinauswollte, aber ich nickte erneut. Und nun sagte er: «Wenn ein identischer Klammerausdruck auf beiden Seiten der Gleichung in einer Produktreihe vorkommt, kann man kürzen, den Ausdruck einfach streichen.» Ich riss die Augen auf, denn die Operationsregel stimmte zwar, aber ich sah auch sofort, zu welchem grauenhaften Resultat es führen würde:

5 = 3

Der Lehrer überließ mich ganz meiner Konsternation und begann mit dem Unterricht. Mich ließ er vorerst in Ruhe, weil er genau wusste, dass ich in jenem Moment keinem andern Gedanken hätte folgen können, solange das Rätsel, das er mir aufgegeben hatte, nicht gelöst war. Doch er behielt mich im Auge, und als er vielleicht zehn Minuten später merkte, dass mir inzwischen ein Licht aufgegangen war, unterbrach er seine Erklärungen und fragte mich nur: «Na?» — «Ja!», sagte ich, «(x – x) ist immer null, egal wie groß x ist. Und jede beliebige Zahl gibt, mit null multipliziert, ebenfalls null.» — Er nickte anerkennend und erklärte die Sache der ganzen Klasse, damit es auch diejenigen wenigstens einmal gehört hatten, die es nicht so sehr interessierte.

Der bekannte Gedanke von Achilles und der Schildkröte, der fälschlicherweise als ‹Paradoxon› bezeichnet wird, wird dem griechischen Philosophen Zenon von Elea zugeschrieben. Darin wird behauptet, dass ein schneller Läufer wie Achilles in einem Wettrennen eine Schildkröte niemals einholen könne, wenn er ihr einen Vorsprung gewähre. Die Argumentation ist folgende:

Achilles muss zuerst den Vorsprung der Schildkröte — sagen wir: hundert Meter — zurücklegen. In der Zeit hat die Schildkröte aber einen Meter zurückgelegt, hat also einen neuen, obwohl kleineren Vorsprung gewonnen, den Achilles dann ebenfalls zurücklegen muss. Wenn Achilles auch diesen Meter gelaufen ist, hat die Schildkröte wieder einen Vorsprung; diesmal von einem Zentimeter. Und so soll es weitergehen bis… — ja, das wird hier tatsächlich behauptet! — bis in alle Ewigkeit: Achilles könne die Schildkröte nie einholen!

Nun ist dies, wie gesagt, kein Paradoxon, sondern schlicht ein Denkfehler. Tatsächlich wissen alle aus der Erfahrung — selbstverständlich auch Zenon selbst —, dass etwas Schnelles, wenn es sich in dieselbe Richtung bewegt, etwas Langsames immer einholen und überholen wird. Zenon hätte schon wissen können, eigentlich schon wissen müssen, dass eine unendliche Reihe durchaus eine endliche Summe haben kann und dass er im Grunde mit seinem Beispiel die eleganteste Methode vor der Nase gehabt hätte, um den genauen Punkt zu berechnen, wo Achilles über die Schildkröte springen muss, um sie nicht zu rammen.

Warum sich dieser völlig reizlose Gedanke noch immer einer so großen Beliebtheit erfreut, dass er in jedem Schulbuch aufgenommen wird, in dem das Denken der Griechen vorgestellt wird, wo es doch wahrlich an wirklich interessanten, nützlichen und durchaus nachvollziehbaren Gedanken bei den Vorsokratikern nicht mangelt, ist mir schleierhaft. Wenigstens streiten sich die Gelehrten darüber, was Zenon damit bezwecken wollte! Und gerade aus Ehrfurcht vor dem großen und berühmten Philosophen hege ich die Vermutung und die Hoffnung, dass er keine andere Absicht verfolgte als damals mein Mathematiklehrer mit dem unzulässigen Beweis, dass 5 = 3 ist.